Понтрягина 雙對
Pontryagin duality
ポントリャーギン双対 - Wikipedia
局所 compact Abelian 群$ Gについて Понтрягина 雙對を記述する
圓周群$ \Bbb Tへの指標$ G\to{\Bbb T}
指標 (数学) - Wikipedia#乗法的指標
局所 compact 群$ Gから圓周群$ \Bbb Tへの位相群準同型$ G\to{\Bbb T}を指標と呼ぶ
指標の全體はまた局所 compact 群を成す。これを雙對群$ \hat Gと呼ぶ
乘法は點每の乘法による。$ f,h:G\to{\Bbb T}について$ f\cdot h:G\to{\Bbb T},x\mapsto f(x)\cdot h(x)
逆元は複素共軛による。$ f:G\to{\Bbb T}について$ f^{-1}:G\to{\Bbb T},x\mapsto\overline{f(x)}
位相は compact 開位相で定める
局所 compact Abelian 群$ Gについて
局所 compact Abelian 群$ Gとその二重雙對$ \widehat{\hat G}は、單に同型である$ \widehat{\hat G}\simeq Gだけでなく自然同型である
Fourier 變換を定義できる
特殊化
https://ja.wikipedia.org/wiki/コホモロジー#:~:text=1934年に%E3%80%81Lev%20Pontryagin%20はポントリャーギンの双対定理を証明した%E3%80%82これは位相群に関する結果である%E3%80%82これは%EF%BC%88いくらか特別なケースとして%EF%BC%89群指標の言葉によるポワンカレ双対とアレクサンダー双対%EF%BC%88英語版%EF%BC%89の解釈を提供した%E3%80%82
1934 年に、Lev Pontryagin はポントリャーギンの雙對定理を證明した。これは位相群に關する結果である。これは (いくらか特別なケースとして) 群指標の言葉によるポワンカレ雙對とアレクサンダー雙對の解釋を提供した。
ポアンカレ双対 - Wikipedia
Alexander duality - Wikipedia
一般化
淡中・クライン双対性 - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/位相群#:~:text=ポントリャーギン双対性,ものである%E3%80%82
Понтрягина 雙對性とは、局所 compact Abelian 群$ Gに対して$ \hat Gのユニタリ雙對がもとの群$ Gに等しいことを述べるものである。
https://ja.wikipedia.org/wiki/有限可換群上の調和解析#双対群:~:text=任意の有限可換群は二重双対%EF%BC%88双対の双対%EF%BC%89と自然同型であり%E3%80%81この性質を一般にポントリャーギン双対性という%E3%80%82
任意の有限可換群は二重雙對（雙對の雙對）と自然同型であり、この性質を一般にПонтрягина 雙對性という。
https://ja.wikipedia.org/wiki/射有限群#:~:text=ポントリャーギン双対を用いれば%E3%80%81可換な射有限群は局所有限な離散可換群の双対になっていることが見てとれる%E3%80%82
Понтрягина 雙對を用ゐれば、可換な射有限群は局所有限な離散可換群の雙對になってゐることが見てとれる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/パーセバルの定理#:~:text=より一般に%E3%80%81可,言っている
より一般に、可換位相群$ GとそのПонтрягина 雙對$ \hat Gが与えられたとき、パーシヴァルの定理は、ポントリャーギン・フーリエ變換が Hilbert 空閒$ L^2(G)と$ L^2(\hat G)の閒の unitary 作用素であることを言ってゐる
https://ja.wikipedia.org/wiki/プリューファー群#:~:text=局所コンパクト位相群の理論において%E3%80%81プリューファー%20p%20群%EF%BC%88に離散位相を入れたもの%EF%BC%89は%20p%20進整数のコンパクト群のポントリャーギン双対であり%E3%80%81p%20進整数の群はプリューファー%20p%20群のポントリャーギン双対である%5B6%5D%E3%80%82
局所コンパクト位相群 (局所 compact 群) の理論において、プリューファー p 群（に離散位相を入れたもの）は p 進整數のコンパクト群のПонтрягина 雙對であり、p 進整數の群はプリューファー p 群のПонтрягина 雙對である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/スペクトル理論#:~:text=一方で群環を構成するのは容易であり%E3%80%81微分のスペクトルがフーリエ変換の基本性質を記述していることが%E3%80%81ポントリャーギン双対によって確認できる%E3%80%82
一方で群環を構成するのは容易であり、微分のスペクトルが Fourier 變換の基本性質を記述してゐることが、Понтрягина 雙對によって確認できる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/局所コンパクト空間#:~:text=位相アーベル群%20A%20のポントリャーギン双対が局所コンパクトとなる必要十分条件は%E3%80%81A%20が局所コンパクトであることである%E3%80%82さらにきちんと言えば%E3%80%81ポントリャーギン双対性は局所コンパクトアーベル群の圏における自己双対性を定める%E3%80%82
位相アーベル群$ AのПонтрягина 雙對が局所 compact となる必要充分條件は、$ Aが局所 compact であることである。さらにきちんと言へば、Понтрягина 雙對性は局所 compact Abelian 群の圈における自己雙對性を定める。
https://ja.wikipedia.org/wiki/ユニタリ表現#:~:text=群がアーベル群%20G%20の場合には%E3%80%81G%20の表現論の完全な描像はポントリャーギン双対性によって与えられる%E3%80%82
群が Abelian 群$ Gの場合には、$ Gの表現論の完全な描像はПонтрягина 雙對性によって與へられる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/岩澤理論#:~:text=これはまた%E3%80%81ポントリャーギン双対を考えれば%E3%80%81任意の%20p%20の冪に対する%201%20の冪根全体が成す円周群の離散部分群の双対として得られるコンパクト群が%20Γ%20であるとも述べられる%E3%80%82
これはまた、Понтрягина 雙對を考へれば、任意の$ pの冪に対する$ 1の冪根全体が成す圓周群の離散部分群の雙對として得られるコンパクト群が$ \Gammaであるとも述べられる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/ベクトル空間#:~:text=上記の具体的な公式は%E3%80%81より一般のポントリャーギン双対と呼ばれる双対からの帰結である%5B84%5D%E3%80%82
上記の具體的な公式は、より一般のПонтрягина 雙對と呼ばれる雙對からの歸結である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/位置空間と運動量空間#:~:text=数学的には%E3%80%81位置と運動量の双対性はポントリャーギン双対性の1つの例である%E3%80%82
數學的には、位置と運動量の雙對性は Понтрягина 雙對性の1つの例である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/アーベル多様体の数論#:~:text=CMアーベル多様体はその数論では特別な位置をもち%E3%80%81それらの%20L-函数は%E3%80%81より一般的な保型表現を必要とするというよりも%E3%80%81調和解析の必要としているポントリャーギン双対の全てというほうがむしろ好ましい%E3%80%82
CM アーベル多樣體はその數論では特別な位置をもち、それらの L-函數は、より一般的な保型表現を必要とするといふよりも、調和解析の必要としているПонтрягина 雙對の全てといふはうがむしろ好ましい。
https://ja.wikipedia.org/wiki/正則表現_(数学)#:~:text=局所コンパクト可換群の場合は%E3%80%81ポントリャーギンの双対性の理論の一部である%E3%80%82
局所コンパクト可換群 (局所 compact Abelian 群) の場合は、Понтрягина 雙對性の理論の一部である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/プロトーラス#:~:text=あるいは捩れのない離散アーベル群のポントリャーギン双対でもある%E3%80%82
あるいは捩󠄁れのない離散アーベル群のПонтрягина 雙對でもある。
https://ja.wikipedia.org/wiki/クンマー理論#:~:text=この群に,みなせば)%E3%80%82
この群に離散位相を入れたものは$ {\rm Gal}(L/K)のПонтрягина 雙對とみなすこともできる ($ \mu_nを圓周群の部分群とみなせば)。
https://ja.wikipedia.org/wiki/クロネッカーの定理#:~:text=実際%E3%80%81ここで,ものとなる%E3%80%82
實際、ここでПонтрягина 雙對性を完全に使うと、クロネッカーの定理の全體は、$ \chi(P)=1となる$ \chiの核の交叉として、$ \lang P\rangの閉包を記述するものとなる。