Понтрягина 雙對
Pontryagin duality
特殊化
1934 年に、Lev Pontryagin はポントリャーギンの雙對定理を證明した。これは位相群に關する結果である。これは (いくらか特別なケースとして) 群指標の言葉によるポワンカレ雙對とアレクサンダー雙對の解釋を提供した。
一般化
Понтрягина 雙對性とは、局所コンパクトアーベル群$ Gに対して$ \hat Gのユニタリ雙對がもとの群$ Gに等しいことを述べるものである。 より一般に、可換位相群$ GとそのПонтрягина 雙對$ \hat Gが与えられたとき、パーシヴァルの定理は、ポントリャーギン・フーリエ變換がヒルベルト空閒$ L^2(G)と$ L^2(\hat G)の閒のユニタリ作用素であることを言ってゐる 一方で群環を構成するのは容易であり、微分のスペクトルがフーリエ變換の基本性質を記述してゐることが、Понтрягина 雙對によって確認できる。 これはまた、Понтрягина 雙對を考へれば、任意の$ pの冪に対する$ 1の冪根全体が成す圓周群の離散部分群の雙對として得られるコンパクト群が$ \Gammaであるとも述べられる。 CM アーベル多樣體はその數論では特別な位置をもち、それらの L-函數は、より一般的な保型表現を必要とするといふよりも、調和解析の必要としているПонтрягина 雙對の全てといふはうがむしろ好ましい。 實際、ここでПонтрягина 雙對性を完全に使うと、クロネッカーの定理の全體は、$ \chi(P)=1となる$ \chiの核の交叉として、$ \lang P\rangの閉包を記述するものとなる。